Modelização financeira7 min de leitura
Calcular a TIR: fórmula, Excel e exemplo numérico
Calcular a TIR dá o rendimento anual de um investimento a partir dos seus fluxos: capital investido, dividendos, preço de venda. Eis a fórmula, a função do Excel, um exemplo numérico e a forma de a ler em conjunto com o MOIC.
O que mede a TIR
A TIR (taxa interna de rentabilidade) é a taxa anual a que um investimento remunera o dinheiro nele aplicado, tendo em conta o momento em que cada euro sai e entra. Calcular a TIR responde a uma pergunta simples: «a que taxa fiz render o meu capital?» Uma aplicação que devolve 1 800 € por cada 1 000 € investidos tem uma TIR de 12,5 % se o dinheiro regressar ao fim de cinco anos, e de 21,6 % se regressar ao fim de três.
Os fundos de private equity avaliam cada operação com dois números: a TIR e o MOIC (multiple on invested capital, o múltiplo entre o que recuperam e o que investiram). Os dois completam-se, e veremos mais abaixo porque é que um sem o outro induz em erro.
A fórmula da TIR
A TIR é a taxa de atualização que anula o valor atual líquido (VAL) dos fluxos. Por outras palavras, é a taxa r que resolve a equação:
F₀ + F₁/(1+r) + F₂/(1+r)² + … + Fₙ/(1+r)ⁿ = 0
onde F₀ é o fluxo do ano 0 (o investimento, negativo) e F₁ a Fₙ os fluxos dos anos seguintes (dividendos, reembolsos, preço de venda, positivos; reforços de capital, negativos).
Esta equação não tem solução direta quando há mais de dois fluxos. Resolve-se por aproximações sucessivas: experimenta-se uma taxa, vê-se se o VAL é positivo ou negativo, e ajusta-se. O Excel faz este trabalho com uma função, e é o método a reter. Só um caso se calcula à mão: um fluxo de partida e um fluxo de chegada, sem nada pelo meio. A TIR é então (MOIC)^(1/n) − 1, em que n é o número de anos.
Calcular a TIR no Excel
Três funções cobrem quase todas as necessidades. Na versão portuguesa (Portugal) do Excel:
| Função | Utilização | Função em inglês |
|---|---|---|
=TIR(intervalo) |
Fluxos a intervalos regulares (uma célula por ano, por ordem) | IRR |
=XTIR(valores; datas) |
Fluxos em datas reais, irregulares | XIRR |
=MTIR(intervalo; taxa_financiamento; taxa_reinvestimento) |
TIR modificada, com uma taxa de reinvestimento explícita | MIRR |
Algumas regras para que a TIR devolva o resultado certo:
- Uma célula por período, sem falhas. Um ano sem fluxo introduz-se como 0, não como célula vazia: o Excel ignora as células vazias e desloca todos os anos seguintes.
- Os sinais contam. Pagamentos a negativo, recebimentos a positivo. Um intervalo inteiramente positivo devolve
#NÚM!. - O primeiro fluxo está no período 0. A
TIRassume que o primeiro fluxo ocorre hoje e o segundo um ano depois. - Os fluxos datados passam pela
XTIR. Um fundo que chama capital em março e distribui em novembro não tem fluxos anuais. AXTIRcalcula a taxa com o número exato de dias, e é a que os fundos usam para a sua TIR oficial.
Vale a pena acrescentar uma verificação: o VAL dos fluxos à TIR calculada deve ser nulo. Cuidado com a armadilha da função VAL: ela atualiza a primeira célula de um período, como se ocorresse daqui a um ano. A fórmula certa é, portanto, =F0 + VAL(TIR; F1:Fn), com o fluxo do ano 0 somado por fora. Se passar todo o intervalo à VAL, o resultado fica errado por um fator (1 + TIR).
TIR e MOIC: o tempo faz a diferença
O MOIC diz quanto ganha; a TIR diz a que velocidade. O quadro abaixo converte um no outro para um investimento sem fluxos intermédios:
| MOIC | TIR a 3 anos | TIR a 5 anos | TIR a 7 anos |
|---|---|---|---|
| 1,5x | 14,5 % | 8,4 % | 6,0 % |
| 2,0x | 26,0 % | 14,9 % | 10,4 % |
| 2,5x | 35,7 % | 20,1 % | 14,0 % |
| 3,0x | 44,2 % | 24,6 % | 17,0 % |
Mais dois anos sobre o mesmo múltiplo de 2,0x fazem a TIR passar de 14,9 % para 10,4 %. É por isso que um fundo prefere muitas vezes uma saída mais rápida a um preço ligeiramente inferior, e por isso que uma recapitalização de dividendos (um dividendo financiado por nova dívida, durante o período de detenção) melhora a TIR sem alterar o MOIC.
Para uma estimativa de cabeça, a regra dos 72 chega: um capital duplica em n anos a uma taxa de cerca de 72 ÷ n. Duplicar em cinco anos exige perto de 14,4 % ao ano (14,9 % exatamente); em três anos, 24 % (26,0 %). Estas referências servem também num paper LBO, em que se converte um múltiplo em TIR sem calculadora.
Exemplo numérico: o mesmo múltiplo, duas TIR
Um fundo investe 1 000 k€ numa PME. Dois cenários devolvem exatamente a mesma soma, 1 800 k€, ou seja, um MOIC de 1,8x.
| Ano | Cenário A (dividendos e depois venda) | Cenário B (tudo na saída) |
|---|---|---|
| 0 | − 1 000 | − 1 000 |
| 1 | + 80 | 0 |
| 2 | + 80 | 0 |
| 3 | + 80 | 0 |
| 4 | + 80 | 0 |
| 5 | + 1 480 | + 1 800 |
| Total recebido | 1 800 | 1 800 |
| MOIC | 1,8x | 1,8x |
| TIR | 14,0 % | 12,5 % |
Em k€. No cenário A, o fundo recebe 80 k€ de dividendos por ano, depois 1 400 k€ na venda; no B, nada antes da venda por 1 800 k€.
O cenário A rende mais 1,5 pontos de TIR, para o mesmo ganho, porque parte do dinheiro regressa mais cedo. À taxa de rentabilidade exigida de 10 %, o VAL do cenário A é de 172,6 k€ e o do B de 117,7 k€: ambos criam valor, A mais. Com uma exigência de 15 %, o VAL de A passa a negativo (− 35,8 k€): um fundo que visa 15 % recusa esta operação apesar de um MOIC de 1,8x.
O mesmo mecanismo atua com um reforço de capital. Um fundo que investe 2,0 M€ no ano 0, mais 1,0 M€ no ano 2 e vende por 9,0 M€ no ano 5 obtém um MOIC de 3,0x e uma TIR de 28,1 %. Se conseguir distribuir 2,0 M€ no ano 4 e vender por 7,0 M€ no ano 5, o MOIC mantém-se em 3,0x e a TIR sobe para 29,9 %.
O que a TIR não diz
A dimensão. Uma TIR de 30 % sobre 100 k€ rende menos do que uma TIR de 18 % sobre 5 M€. Entre dois projetos de dimensão diferente, quem decide é o VAL, não a TIR.
O pressuposto de reinvestimento. A TIR assume que cada fluxo intermédio é reaplicado à mesma taxa que a TIR. Um investimento que rende 150 k€ por ano durante cinco anos por 500 k€ investidos apresenta uma TIR de 15,2 %; se esses 150 k€ só encontrarem uma aplicação a 8 %, a TIR modificada (MTIR, com 8 % como taxa de financiamento e de reinvestimento) desce para 12,0 %. Quanto mais pesam os fluxos intermédios, maior se torna a diferença.
Os fluxos que mudam de sinal várias vezes. Um investimento, depois um recebimento, depois nova despesa (uma reabilitação, uma garantia acionada) podem dar duas TIR matematicamente exatas. Os fluxos − 100, + 230, − 132 têm uma TIR de 10 % e outra de 20 %. O Excel devolve a que estiver mais perto da estimativa inicial, sem avisar. Nesse caso, o VAL a uma taxa dada é a única leitura fiável.
As comissões. A TIR bruta de um fundo, calculada ao nível das participações, ignora as comissões de gestão e a participação nos lucros da equipa (carried interest). A TIR líquida, a que recebem os subscritores, é inferior em vários pontos. Pergunte sempre qual lhe estão a apresentar.
A taxa com que comparar uma TIR depende de quem investe. Para um fundo, é o seu rendimento-alvo, muitas vezes entre 15 % e 25 %. Para uma empresa que arbitra entre projetos, é o seu custo de capital, cuja ordem de grandeza o cálculo do WACC fornece.
Os erros frequentes
- Dividir o ganho pela duração. Um ganho de 80 % em cinco anos não dá 16 % ao ano, mas 12,5 %, porque os rendimentos se compõem.
- Esquecer o fluxo do ano 0 na verificação do VAL. Ver acima: a
VALcomeça a atualizar logo na primeira célula. - Misturar fluxos anuais e fluxos datados. A
TIRsobre fluxos espaçados de seis meses sobrestima a duração e, portanto, subestima a taxa. Passe para aXTIR. - Comparar uma TIR bruta com uma TIR líquida. As duas não medem a mesma coisa.
- Ler uma TIR sem o seu MOIC. Uma TIR próxima de 50 % obtida revendendo ao fim de dez meses corresponde a um ganho de apenas 40 %. Apresente sempre os dois.
Calcule a sua TIR e o seu MOIC online. A calculadora de TIR da Bridgesheet devolve a TIR, o MOIC e o VAL a partir dos seus fluxos anuais, com um ficheiro Excel gratuito que verifica que o VAL se anula à TIR e assinala os fluxos com várias mudanças de sinal. Trata-se de uma estimativa, não de uma avaliação certificada nem de aconselhamento de investimento.
